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Contents : U n t e r r i c h t e n m it n eu e n Me d i e n http://www.lehrer-online.de/url/ funktion-steigungableitung Autor: Markus Hohenwarter Steigung und Ableitung einer Funktion mit GeoGebra Dynamische Arbeitsbl tter die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt wurden erm glichen Sch lerinnen und Sch lern ein experimentelles Entdecken des Zusammenhanges zwischen erster Ableitung und Tangentensteigung (Jahrgangsstufe 11). Der Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Tangentensteigung einer Funktion ist ein wesentlicher Punkt der Differentialrechnung der beispielsweise f r die Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten verwendet wird. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit gibt Sch lerinnen und Sch lern die M glichkeiten diesen Zusammenhang durch Experimentieren selbstst ndig zu entdecken. Grundlage daf r bilden drei dynamische Arbeitsbl tter die mit der kostenfreien Unterrichtssoftware GeoGebra erstellt wurden. Lernziele Die Sch lerinnen und Sch ler sollen erkennen dass die Steigung der Tangente an eine Funktion sowohl negativ als auch positiv sein kann. wissen dass am "tiefsten" und "h chsten Punkt" des Grafen die Steigung gleich Null ist. erkennen dass die Steigung der Tangenten einer Parabel als Funktion abgetragen eine Gerade ergibt. erkennen dass die Steigung der Tangenten eines Polynoms dritten Grades als Funktion abgetragen eine Parabel ergibt. den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung einer Funktion erkennen. Kurzinformation Thema Autor Fach Zielgruppe Zeitraum Technische Voraussetzungen Software Steigung und Ableitung einer Funktion Markus Hohenwarter Mathematik Jahrgangsstufe 11 1-2 Stunden idealerweise ein Rechner pro Sch lerin/Sch ler Java (www.java.com Version 1.4 oder h her kostenfrei) GeoGebra (http://www.geogebra.at kostenloser Download aus dem Internet) Didaktisch-methodischer Kommentar Vorraussetzungen Die Sch lerinnen und Sch ler sollten bereits die erste Ableitung einfacher Polynome berechnen k nnen. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten die mit jedem Internet Browser (zum Beispiel Internet Explorer Netscape Mozilla) betrachtet werden k nnen. Damit auch die dynamischen Konstruktionen funktionieren muss Java 1.4 (oder h her) installiert sein. 2004 Schulen ans Netz e.V. 1 Lehrer-Online Einsatzstrategien Der Zugang zur ersten Ableitung erfolgt h ufig ber die Steigung einer Sekante. Der entstehende Differenzenquotient wird schlie lich durch Grenzwertbildung in den Differentialquotienten bergef hrt und somit die Steigung der Tangente beziehungsweise die erste Ableitung gewonnen. Nach der Einf hrung einfacher Rechenregeln zur Bestimmung der Ableitung geht dieser Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung f r viele Sch lerinnen und Sch ler oft leider schnell wieder verloren. Mit den Arbeitsbl ttern dieser Unterrichtseinheit ist ein eigenst ndiges (Wieder-)Entdecken auf experimentellem Wege m glich. Selbstverst ndlich k nnen Sie als Lehrperson auch den umgekehrten Weg gehen: Sie f hren zuerst die einfachen Rechenregeln f r die Ableitung ein und lassen danach Ihre Sch lerinnen und Sch ler mithilfe der Arbeitsbl tter den Zusammenhang zur Tangentensteigung v llig selbstst ndig entdecken und begr nden die Frage nach dem Warum erst am Ende mit dem Zugang ber den Differenzenquotienten. 1. Arbeitsblatt Durch Ziehen eines Punktes entlang einer Parabel entsteht grafisch die Spur ihrer Steigungsfunktion. Die Sch lerinnen und Sch ler sollen zun chst versuchen Art und Funktionsgleichung dieser Steigungsfunktion anzugeben. Danach werden sie nach der ersten Ableitung gefragt die dann auch mit GeoGebra zu zeichnen ist. Bei nochmaligem Ziehen des Punktes wird der Zusammenhang zwischen Steigungsfunktion und erster Ableitung offensichtlich. 2. Arbeitsblatt Auf dem Folgeblatt wird die gleiche Vorgehensweise nun auch auf eine Funktion dritten Grades angewandt. So k nnen die Ergebnisse des ersten Beispiels berpr ft und vertieft werden. 3. Arbeitsblatt Das dritte Arbeitsblatt fasst Einerseits die L sungen der ersten beiden Beispiele zusammen indem Steigung und Ableitung dynamisch veranschaulicht werden. Andererseits wird in zwei weiteren Aufgaben nach dem Zusammenhang zwischen Extrempunkten und Steigung beziehungsweise erster Ableitung gefragt. Das Kriterium f'(x) 0 kann so von Ihren Sch lerinnen und Sch lern selbstst ndig durch Experimentieren entdeckt werden. Internetadressen Dynamische Arbeitsbl tter Steigung und Ableitung einer Funktion mit GeoGebra (online) http://www.lo-net.de/group/Material/funktion-steigungableitung/funktion steigung ableitung/funktion steigung1.html Die dynamischen Arbeitsbl tter (Java 1.4 oder h her erforderlich siehe Internetadressen) erm glichen den Sch lerinnen und Sch lern ein experimentelles Entdecken des Zusammenhanges zwischen erster Ableitung und Tangentensteigung. Steig

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