Download logik.pdf

Contents : Den Logistiske Di erentialligning Gorm Claussen Vi f r brug for f lgende s tning: 1 f (ax + b)dx F (ax + b) hvor F er en stamfunktion til f . a a 0 Bevis: d1 1 F (ax + b) f (ax + b)a f (ax + b) dx a a Ved en logistisk di erentialligning forst s en di erentialligning af formen: dy (b ay )y dx (1) a b 0 b Vi bem rker at de to konstante funktioner y 0 og y a begge er l sninger b 1 til (1).Vi antager nu at y 0 og y a og foretager substitutionen y u hvor u er en ukendt funktion af x. Bem rk at if lge antagelsen er u a . Vi b udregner nu di erentialkvotienten af y : d1 dy dx dx u 1 du u2 dx (2) Vi inds tter (2) i (1): 1 du u2 dx b a1 du bu a uu dx du bu a dx + c1 1 ln bu a x + c1 ln bu a bx + c2 b bu a e bx+c2 ec2 e bx c3 e bx Heraf f s s : Hvorefter: bu a c3 e bx c4 e bx bu a + c4 e bx u 1 a + c5 e bx b c3 0 c4 0 c5 0 1 Nu er vi n sten f rdige idet vi inds tter u y : 1 a + c5 e bx y y b a b b 1 a + c5 e bx 1 + c6 e bx c6 0 Hvis vi i det sidste udtryk fors gsvis s tter c6 0 f r vi: y b a 1+0 b a Men dette var jo netop en l sning til (1). S nu har vi den fuldst ndige l sning til di erentialligningen (1): y ( x) 0 y (x) b a 1 + c e bx Figuren viser tre forskellige l sninger til ligningen dy 1 (1 y )y dx 4 2 c R Man skriver ofte ligning(1) p en anden m de. dy dy b (b ay )y a( y )y dx dx a Hvorved vi opn r f lgende udgave af den logistiske di erentialligning dy a(M y )y dx (3) b Her er M a som kaldes m tningsv rdien. L sningsformlen kommer s til at se s dan ud: y (x) 0 y ( x) M 1 + c e aM x c R (4) Ved at betragte den r de kurve p guren kan man f en fornemmelse af at den st rste v ksthastighed opn s n r y 1 M . 2 At det faktisk er rigtigt kan vi vise s ledes: dy V ksthastigheden er givet ved dx alts venstre side af (3). V ksthastigheden er st rst der hvor dens di erentialkvotient er 0. Vi f r s : 1 y 0 a(0 y )y + a(M y )y 0 y + M y 0 y M 2 Idet vi har di erentieret (3). Den x-v rdi der giver den st rste v ksthastighed kan vi nde ved at l se (4) med hensyn til x. 3

INFO HASH : 9df1fb8575b1cb5d43690af0093058e7f6c2943f

Download now

File Size: 126 kb