Download opt_konveksnost_mnoz.pdf

Contents : KONVEKSNE MNOZICE Naj bo D Rn . S cl(D) ozna imo zaprtje z int(D) pa notranjost mno ice D v Rn . c z Definicija 1 Mno ica D Rn je konveksna e za vsaka x y D in vsak 0 1 velja z c x + (1 )y D. Vsakemu vektorju m i xi kjer je i 0 in m i 1 pravimo konveksna kombinacija i 1 i 1 vektorjev xi Rn . (Ce pogoje nenegativnosti za skalarje i izpustimo dobimo a ne kombinacije .) Vsaka konveksna mno ica vsebuje vse konveksne kombinacije svojih elementov. z Presek poljubne dru ine konveksnih mno ic je spet konveksna mno ica (prazna mno ica je z z z z po de niciji konveksna res pa je da pri trditvah pogosto po tiho predpostavimo da so konveksne mno ice neprazne). z Konveksna ovojnica (ali konveksna ogrinja a ) conv(D) mno ice D je najmanj a konveksna c z s mno ica ki vsebuje D. To je ravno presek vseh konveksnih mno ic ki vsebujejo D oziroma z z mno ica vseh konveksnih kombinacij to k iz D. Mno ica je konveksna natanko tedaj ko je z c z enaka svoji konveksni ovojnici. Za kompaktne (tj. zaprte in omejene v Rn ) mno ice je tudi z njihova konveksna ovojnica kompaktna. Za odprte mno ice je njihova konveksna ovojnica z odprta mno ica. Za zaprte mno ice taka trditev ne velja. Zaprta konveksna mno ica je enaka z z z preseku vseh zaprtih polprostorov ki jo vsebujejo. Ce je mno ica D konveksna sta konveksni tudi mno ici cl(D) in int(D) (seveda je notranjost z z neprazne mno ice lahko prazna). z Trditev 2 Naj bo D konveksna mno ica z int(D) ter x1 int(D) in x2 cl(D). Potem z polodprta daljica x1 x2 ) v celoti le i v int(D). z Posledica 3 Naj bo D konveksna mno ica z int(D) . Potem je z cl(int(D)) cl(D) in int(D) int(cl(D)) . Formuli iz posledice ne dr ita nujno za nekonveksne mno ice. z z Izrek 4 (Carath odoryjev izrek) Naj bo D Rn in x conv(D). Potem lahko x e zapi emo kot konveksno kombinacijo n + 1 (ne nujno razli nih) to k iz D. s c c Definicija 5 Naj bo D konveksna mno ica. To ka x D je ekstremna to ka mno ice D e z c c z c je mno ica D x konveksna. z Druga e povedano to ka je ekstremna natanko tedaj ko je ni mo zapisati v obliki x1 + c c c (1 )x2 kjer x1 x2 D x1 x2 in 0 1. V splo nem konveksna mno ica lahko s z nima nobene ekstremne to ke. To se lahko zgodi tudi pri zaprtih konveksnih mno icah. Velja c z pa da ima vsaka kompaktna konveksna mno ica kak no ekstremno to ko. Nobena ekstremna z s c to ka ne le i v notranjosti mno ice D. c z z Izrek 6 Naj bo D Rn kompaktna konveksna mno ica in E mno ica njenih ekstremnih to k. z z c Potem je D cl(conv(E )) . 1 Izrek 6 velja tudi za tako imenovane lokalno konveksne topolo ke vektorske prostore in ne le s n za R . V tej splo ni obliki mu pravimo Krein-Milmanov izrek. s n V R je mo izrek 6 e izbolj ati in sicer velja c s s D conv(E ) . Na konveksno mno ico D Rn pogosto ne gledamo kot na mno ico v Rn ampak raje kot z z na podmno ico njene a ne ovojnice. Ta ovojnica je v bistvu spet prostor Rd kjer je d n. z Stevilo d je tedaj razse nost (oz. dimenzija ) mno ice D. Znotraj svoje a ne ovojnice ima z z vsaka konveksna mno ica neprazno notranjost (pravimo ji relativna notranjost in jo ozna imo z c z ri(D)). Tako lahko posplo imo mnoge trditve pri katerih smo zahtevali neprazno notranjost s mno ice pri emer int(D) zamenjamo z ri(D). Primera sta trditev 2 in posledica 3 v izreku z c 4 pa lahko n + 1 nadomestimo z d + 1. Definicija 7 Naj bosta D D Rn . Hiperravnina lo i mno ici D in D e sta D in D c z c podmno ici razli nih odprtih polprostorov ki ju dolo a . z c c Hiperravnina krepko lo i D in D e lo i D in D hkrati pa obstaja tak 0 da je vsaka c c c to ka iz D D oddaljena vsaj od . c Hiperravnina ibko lo i D in D e sta D in D podmno ici razli nih zaprtih polprostorov s c c z c ki ju dolo a in velja D D . c Za vsako zaprto konveksno mno ico D in to ko x D obstaja hiperravnina ki krepko lo i x z c c in D. V D tudi obstaja natanko ena to ka ki je najbli ja x (pri konveksnih mno icah ki niso c z z zaprte se lahko zgodi da najbli ja to ka v D ne obstaja nikoli pa ne more biti ve kot ena z c c sama). Izrek 8 Naj bosta D in D taki konveksni mno ici v Rn da je int(D) in int(D) D . z Potem obstaja hiperravnina ki ibko lo i cl(D) in cl(D ). s c Izrek 8 velja tudi v neskon no razse nih prostorih v Rn pa ga je mo izbolj ati. Opomba: c z c s n v R sta enakovredni trditvi da lahko ibko lo imo mno ici in da lahko ibko lo imo njuni s c z s c zaprtji. Izrek 9 Naj bosta D in D konveksni mno ici v Rn . Mno ici D in D lahko ibko lo imo z z s c natanko tedaj ko je ri(D) ri(D ) . V izrekih 8 in 9 ni mo dose i lo itve mno ic D in D . c cc z Izrek 10 Naj bosta D in D taki zaprti konveksni mno ic

INFO HASH : 8c568cd45cb00e46a6cf19a75cbbc015d1597733

Download now

File Size: 68 kb